Die Lösungen von Gleichungen bis höchstens 4. Grades können exakt aus den Koeffizienten berechnet werden, indem man Wurzeln zieht und rationale Rechenoperationen durchführt. Ab Gleichungen 5. Grades ist dies im allgemeinen nicht mehr möglich und man muss sich mit Näherungslösungen (s. z.B. Newton-Verfahren, Iteration usw.) begnügen. Da ich (trotz Vorhandensein von Maple, TI89 usw. :-)) immer wieder nach der exakten Lösung von allgemeinen Gleichungen dritten Grades gefragt werde, so hier die Formeln von Cardano, die er im Jahr 1545 veröffentlichte. Sie sind eher von historischem Interesse (s. dazu in seinem Lebenslauf auch die Bemerkung).

Ausgangslage ist die Gleichung dritten Grades      ax³ + bx²  + cx + d = 0.
Dividiert man durch a und setzt man y := x + b/(3a), so entsteht die Gleichung

  y³ + 3py + 2q = 0     mit        und  .

Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Vorzeichen der Diskrimante D:=q² + p³ ab.

Ist D > 0, so hat die Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen.
Ist D < 0, so hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen.
Für D = 0 hat die Gleichung die Lösung  y₁= y₂= y₃ =0, falls p = q = 0  und zwei Lösungen, falls q² = -p³ 0.

Die Lösungen heissen   y₁ = u + v,   y₂ = f ₁u + f₂v,   y₃ = f₂u + f₁v , wobei        ,   und f₁ und f₂ die Lösungen der Gleichung  f² + f + 1 = 0 sind, d.h. f_1,2 = 0.5 ( -1 ± i).
(i: imaginäre Einheit)

Beispiel:

x³ + 3x² + 9x + 9 = 0 , also  a=1, b=3, c=9 und d=9.
y:= x + 1,  3p = (27 - 9)/3 = 6, also p =2    und   2q = 2*27/27 - 27/3 + 9 = 2, also q = 1
Es entsteht daher die Gleichung y³ + 6y + 2 = 0.  Diskrimante D = q² + p³ = 9.
Die Gleichung hat also eine reelle und zwei (konjugiert) komplexe Lösungen.

.

Die Resubstitution liefert für das reelle x₁ = y₁ - 1 = - 1 -1.32748 und für die komplexen x_2,3 die entsprechenden Resultate. Man vergleiche durch numerische Lösung z.B. mit dem Newton-Verfahren.

Formular zur Demo der Formel von Cardano

Geben Sie die Koeffizienten a, b, c und d der Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 ein.
Das Formular berechnet dann die Lösungen der Gleichung gemäss der Formel von Cardano.
Sie erhalten auch die Ergebnisse der Zwischenschritte.