mathematik.ch

Euler'sche Gerade eines Dreiecks

Im Dreieck ABC gibt es verschiedene interessante Punkte und spezielle Linien. Sie wandern alle entsprechend mit, wenn Sie die Eckpunkte C und B (Radiobutton aktivieren) mit der Maus (B und C bleiben auf dem Umkreis) verschieben.
Alternativ können Sie auch mit 'Step' die Positionen von C (bzw.B) schrittweise verändern.

Schwerpunkt S des Dreiecks
A', B' und C' sind die Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Die grün gefärbten Strecken AA', BB' und CC' sind die Seitenhalbierenden (oder Schwerelinien) des Dreiecks. Sie schneiden sich im Schwerpunkt S.
Man kann zeigen, dass sich die Schwerelinien im Verhältnis 2:1 teilen. So ist also z.B. die Strecke AS doppelt so lang wie die Strecke A'S.

Umkreismittelpunkt M
Der Mittelpunkt M des Umkreises ist Schnittpunkt der (grau gefärbten) Mittelsenkrechten A'D', B'E', and C'F'. Die Verbindungslinien A'B', B'C' und C'A' der Mittelpunkte der Seiten sind schwarz gefärbt.

Höhenschnittpunkt H
Es gibt drei (rot gefärbte) Höhen des Dreiecks: AD senkrecht zu BC, BE sekrecht zu CA und schliesslich CF senkrecht zu AB. H ist der Schnittpunkt dieser drei Höhen.

Es scheint überraschend, dass die drei Punkte M, S und H auf einer Geraden liegen. Aber hier ist der Beweis:
Wegen dem Teilverhältnis der Schwerelinien (s. oben) ist das Dreieck A'B'C' ähnlich zum Dreieck ABC und seine Seiten sind parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC und halb so lang wie sie. (Zentrische Streckung an S mit Faktor -0.5)

Die Höhen AD, BE und CF werden dadurch auf die Höhen A'D', B'E' und C'F' abgebildet. Da sich die Höhen des Originaldreiecks in H schneiden, so schneiden sich die Höhen des Dreiecks A'B'C' in H'. H' ist aber zugleich der Umkreismittelpunkt M des Dreiecks ABC. Also ist M das Bild des Punktes H unter der zentrischen Streckung an S. Folglich ist zudem die Strecke SM halb so lang wie die Strecke SH.