Der Kreis des Apollonius
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Es gilt der Satz:
Jede Winkelhalbierende im Dreieck teilt die Gegenseite innen im
Verhältnis der anliegenden Seiten.
Jede Winkelhalbierende eines Aussenwinkels am Dreieck teilt die Gegenseite aussen im Verhältnis der
anliegenden Seiten
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Die innere und die äussere Winkelhalbierende eines
Dreieckswinkels teilen also die Gegenseite harmonisch im Verhältnis der
anliegenden Seiten
Die Umkehrung des Satzes ist wahr:
| Teilt man eine Dreiecksseite harmonisch im Verhältinis der
anliegenden Seiten, so halbieren die Geraden durch die Teilpunkte und die
Gegenecke den Innen- und Aussenwinkel des Dreiecks.
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Dieser Satz ist Grundlage für einen berühmten Satz der Antike. Um 200 v. Chr.
hat der griechische Mathematiker und Astronom Apollonius in Alexandria folgende
Entdeckung gemacht:
Der geometrische Ort der Punkte, deren Entfernung von zwei
gegebenen Punkten A und B ein festes Verhältnis b:a haben, ist der Kreis
mit dem Durchmesser T1 T2.
T1 und T2 teilen AB harmonisch im
Verhältnis b:a |
Prüfen Sie diese Behauptungen an folgender Zeichnung:
Durch Verschieben der Ecke C können Sie das Verhältnis b:a verändern
Durch Verschieben der Ecke C1 (auf dem Kreis) sehen Sie, dass dieses Verhältnis konstant bleibt
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