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| Differenzierbarkeit von f bei x = x0 |
Linksseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:
für x < x0
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Rechtsseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:
für x > x0
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Ist der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion, so ist f differenzierbar
bei x0. Es existiert dann die Ableitung f'(x0), die Steigung
der Tangente an den Graphen im Punkt (x0 / f(x0)). |
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Veranschaulichung mit dem dazugehörigen Applet
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Wählen Sie zuerst, ob x → x0 oder x → x1 gehen soll.
Wählen Sie nun, ob Sie den Grenzwert einseitig oder beidseitig betrachten wollen.
Verschieben Sie dann den (die) roten Punkt(e) gegen den blauen Punkt.
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Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, weil
der Grenzwert der Funktion f für x → x0 existiert und gleich dem
Funktionswert f(x0) ist. Sie ist aber an der Stelle x0
nicht differenzierbar, weil der
linksseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert identisch
ist (es ex. also nur die sog. links- und die rechtsseitige Ableitung).
Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = x1 differenzierbar, weil der
linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion
übereinstimmen (es ex. also die Ableitung f'(x1)).
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