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Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik
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Siegfried Gottwald ...

Juliamengen und Mandelbrotmenge

Zum Programm Julia-Mengen Zur Mandelbrot-Menge (Java-Applet)

Bild 1.1
Bild 1.1

Bild 1.2
Bild 1.2

Bild 1.3
Bild 1.3

Bild 1.4
Bild 1.4

Der französische Mathematiker Gaston Julia untersuchte im Jahre 1919 das Verhalten der Folge mit Gleichung    zn+1 = zn2 + i.    Für z1 wählte er Werte aus der komplexen Ebene aus.
Während bei einer Anzahl von Werten z1 um den Ursprung der Gauss'schen Ebene zn für n gegen unendlich einem Grenzwert zustrebte oder beschränkt blieb, gab es einen Bereich ausserhalb, welcher divergierte. Es dauerte jedoch bis in die siebziger Jahre des letzten Jahrhunderts, bis die Bedeutung der Julia-Mengen erfasst wurde.
Julias Formel lässt sich verallgemeinern. Wenn man für c in    zn+1 = zn2 + c    eine beliebige komplexe Zahl einsetzt, erhält man zu jedem c eine bestimmte Julia Menge. Die Juliamenge J ist als Randmenge zwischen D und E definiert. Dabei ist D der sog. Divergenzbereich und E der sog. Einzugsbereich (s. Bild 1.1 für c = -0.15 +0.45i). Die Julia-Menge ist also eine Menge aller z1 mit einer bestimmten Eigenschaft. Für exakte Definitionen von D und E siehe entsprechende Literatur.

In Bild 1.2 sind Julia Mengen für c = 0 + i, c = -0.4 + 0.7i, c = -0.7 + 0.3i und c = -1.77 + 0.01i (von links oben nach rechts unten) dargestellt. Sie können diese durch Eingabe der entsprechenden c-Werte im Applet Julia-Mengen selbst erzeugen.

Der Pole Benoit B. Mandelbrot (geboren 1924) entdeckte dann mit seiner Mandelbrotmenge M den wesentlichen Zusammenhang mit den Julia-Mengen: Fester Anfangspunkt z1 = 0. Für jeden komplexen Parameter c wird die Zahlenfolge (zn) gemäss    zn+1 = zn2 + c    betrachtet.
M ist die Menge aller Parameter c, für welche die Folge (zn) nicht divergiert.

Bild 1.3 zeigt diese Mandelbrot Menge. Die Figur ist auch als "Apfelmännchen" bekannt.
Eine wichtige Eigenschaft der fraktalen Struktur der Mandelbrotmenge ist die sog. Selbstähnlichkeit. Die Selbstähnlichkeit bedeutet, dass man dieselbe Struktur (zum Beispiel das Apfelmännchen selbst) beim Vergrössern des Randbereiches immer wieder findet. Bild 1.4 zeigt vier Zoom-Stufen der Mandelbrot Menge. Das gelbe Rechteck markiert jeweils den Ausschnitt der nächsten Stufe. (Stellen Sie selber mit dem Applet Mandelbrot-Menge solche Vergrösserungen dar)

Die Farbabstufungen entstehen durch Einsetzen eines Zählers. Je öfter man iterieren muss (z.B. bis 25 Iterationen), bis der Betrag von zn einen bestimmten Wert überschreitet - die dazugehörige Folge also divergiert - desto heller zeichnet man den dazugehörigen Punkt. Braucht man noch eine grössere Anzahl Iterationen (z.B. zwischen 25 und 100), bis der Betrag von zn einen bestimmten Wert überschreitet - die dazugehörige Folge also 'langsam' divergiert - desto dunkler zeichnet man wiederum den Punkt. Jene Punkte (mit dazugehörigem Parameter c), deren Folge (zn) konvergiert, lässt man schwarz.

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