Zentraler Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz: (vereinfachte Formulierung)

Der Satz wird hier nicht bewiesen, sondern zur Illustration soll die folgende Überlegung (1) und anschliessend unabhängig davon das Formular (2) dienen:

(1) Die Newton'sche Formel    W'keit  = P_n(x) = , q = 1-p für die Berechnung bei Binomialverteilung kann auch folgendermassen interpretiert werden:
Gegeben seien n voneinander unabhängige Zufallvariablen Z₁, Z₂, ... , Z_n, die nur den Wert 1 (mit Wahrscheinlichkeit p) und den Wert 0 (mit Wahrscheinlichkeit q) annehmen können. Wie gross ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe X := Z₁ + Z₂ + ... + Z_n den Wert x annimmt? Dies ist aber die W'keit, dass das Ereignis "Wert 1 annehmen" genau x -mal von n-mal eintreten muss.
Die W'keit dafür ist eben P_n(x).
Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist X angenähert normalverteilt. Dies führt auf die Approximation der Binomialverteilung durch Normalverteilung, also den Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace.

(2) In einer Urne liegen 99 von 1 bis 99 nummerierte Kugeln. Man zieht z.B. n = 4000 -mal eine Kugel, notiert die Nummer und legt die Kugel wieder zurück.
Jede Zahl x von 1 bis 99 ist dann gleichwahrscheinlich. Fasst man nun aber z.B. N = 5 aufeinander notierte Zahlen x_i zusammen und bildet deren Mittelwert x_j, so ist dieser Mittelwert x eine angenähert normal-verteilte Zufallsvariable (Mittelwerte um 50 sind häufiger als solche um 30 oder gar solche um 10 oder 90).