Testen von Hypothesen mit Binomialverteilung

Im oberen Grafikfenster wird wechselweise das Histogramm der Wahrscheinlichkeiten P(X=k) oder die Summenfunktion, die noch in y-Richtung gestreckt werden kann, dargestellt. Der Verwerfungsbereich V des Test ist jeweils rot gekennzeichnet. Die waagrechte magentafarbene Linie gibt das gewählte Signifikanzniveau an. (man redet von signifikant → Signifikanzniveau=5%, hochsignifikant → Signifikanzniveau=1%)

Bei einem linksseitigen Test wird die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(X ≤ k) dargestellt, bei einem rechtsseitigen Test die Summe P(X ≥ k) . Bei einem zweiseitigen Test trennt die senkrechte grüne Linie die Bereiche, in denen P(X ≤ k) bzw. P(X ≥ k) dargestellt werden.

In den Textfenstern rechts vom oberen Grafikfenster wird der Verwerfungsbereich V und der Alpha-Fehler (Fehler 1. Art) angegeben.

Im unteren Grafikfenster wird der Beta-Fehler (Fehler 2. Art) in Abhängigkeit von p angegeben. Beta wird in den danebenstehenden Textfensten ausgegeben, wenn man mit der Maus die Grafikpunkte anklickt.

Beispiele:

1. Voreingestellt ist das Testen einer Münze bei der Nullhypothese H₀: Münze ist symmetrisch. Die Behauptung Münze ist unsymmetrisch wird mit einem zweiseitigen Test vom Umfang n = 100 und dem Signifikanzniveau 5% geprüft. Der Verwerfungsbereich ergibt sich zu {0..39} und {61..100}. Zeigt also die Münze 66-mal Kopf, so wird man H₀ verwerfen. Die W'keit, dabei einen Fehler 1.Art begangen zu haben, beträgt 3.521%.
Im oberen Grafikfenster wird bei der Wahl von "Summenfunktion *10" das Signifikanzniveau als waagerechte Linie bei 0,025 dargestellt (zweiseitig!).

2. Der Lieferant eines Artikels garantiert, dass der Ausschussanteil höchstens 3% beträgt. Ein Abnehmer entnimmt einer Lieferung 100 Artikel und findet 7 Ausschussstücke. Kann man daraus mit einer Signifikanz von (höchstens) 5% schliessen, dass der Ausschussanteil höher als 3% ist?
Lösung: Der Test ist rechtsseitig, da eine grosse Anzahl defekter Artikel gegen die Behauptung des Lieferanten spricht. Im linken Teil des Appletfeldes werden folgende Eingabeparameter eingestellt:
p_o = 0.03 (nachher Klick auf Start-Knopf) ;  n = 100   S. niv = 5%; Testtyp rechtsseitig

Im oberen Grafikfenster wird bei der Wahl von "Summenfunktion *10" das Signifikanzniveau als waagerechte Linie bei 0,05 dargestellt. Die unterhalb dieser Linie liegenden Summenwerte  P(X >= k) sind rot eingezeichnet und definieren den Verwerfungsbereich. In den rechts vom Grafikfenster angeordneten Textfenstern werden der Verwerfungsbereich und der Alpha-Fehler angezeigt: V = {7,..,100}  ;   Alpha =  3.123%

Wenn der Tester also 7 oder mehr defekte Stücke findet (also auch bei 7), wird er die Lieferung beanstanden. Die Wahrscheinlichkeit, dabei dem Lieferanten Unrecht zu tun, weil die defekten Stücke in der Stichprobe zufällig gehäuft auftraten, beträgt 3.123%.
Im unteren Fenster kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, mit der der Tester einen von 3% abweichenden Anteil defekter Stücke beim Test nicht bemerkt (Beta-Fehler). Durch Anklicken des entsprechenden Grafikpunktes wird angezeigt, dass dieser Fehler bei einem Anteil defekter Artikel von 10% etwa 11.72% beträgt.

Die Resultate können natürlich auch mit dem Formular unter dem Link 'Binomialverteilung' überprüft werden.