Euler'sche Gerade eines Dreiecks

Betrachten Sie das Dreieck ABC. Verschiedene interessante Punkte und spezielle Linien können konstruiert werden. Sie wandern alle entsprechend mit, wenn Sie die Eckpunkte A, B, oder C mit der Maus verschieben.
Um das Applet in einem separaten Fenster zu öffnen, können Sie den Cursor ins Diagramm platzieren und die Return-Taste drücken.
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Schwerpunkt S des Dreiecks
A', B' und C' sind die Mittelpunkte der Dreiecksseiten. Die grün gefärbten Strecken AA', BB' und  CC' sind die Seitenhalbierenden (oder Schwerelinien) des Dreiecks. Sie schneiden sich im Schwerpunkt S.
Man kann zeigen, dass sich die Schwerelinien im Verhältnis 2:1 teilen. So ist also z.B. die Strecke AS doppelt so lang wie die Strecke A'S.
Sie können auch andere Punkte als A, B und C verschieben. Experimentieren Sie selbst!

Umkreis und Umkreismittelpunkt O
Der Mittelpunkt O des Umkreises ist Schnittpunkt der (schwarz gefärbten) Mittelsenkrechten A'D', B'E', and C'F'. Schwarz gefärbt sind ebenfalls die Verbindungslinien der Mittelpunkte der Seiten  A'B', B'C' und C'A'.

Höhen und Höhenschnittpunkt H
Es gibt drei (blau gefärbte) Höhen des Dreiecks: AD senkrecht zu BC, BE sekrecht zu CA und schliesslich CF senkrecht zu AB. H ist der Schnittpunkt dieser drei Höhen.

Euler'sche Gerade (OSH) des Dreiecks
Die drei Punkte O, S und H liegen auf einer Geraden, der sog. Euler'schen Geraden. Leonhard Euler (1707-1783) war ein sehr berühmter Mathematiker, bekannt für seine Entdeckungen in vielen Gebieten der Mathematik.

Es scheint überraschend, dass diese drei Punkte auf einer Geraden liegen. Aber hier ist der Beweis:
Wegen dem Teilverhältnis der Schwerelinien (s. oben) ist das Dreieck A'B'C' ähnlich zum Dreieck ABC und seine Seiten sind parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks ABC und halb so lang wie sie. (Zentrische Streckung an S mit Faktor -0.5)

Die Höhen AD, BE und CF werden dadurch auf die Höhen A'D', B'E' und C'F' abgebildet. Da sich die Höhen des Originaldreiecks in H schneiden, so schneiden sich die Höhen des Dreiecks A'B'C' in H'. H' ist aber zugleich der Umkreismittelpunkt O des Dreiecks ABC.  Also ist O das Bild des Punktes H unter der zentrischen Streckung an S. Folglich ist zudem die Strecke SO halb so lang wie die Strecke SH.

Das Geometry Applet stammt von: David E. Joyce, Department of Mathematics and Computer Science, Clark University, Worcester, MA 01610
Dieses Applet wurde später ausgebaut zum Programm GeoNet (Adresse s. unter Links). GeoNet benötigt allerdings ca 670 KB anstelle von ca 100KB des ursprünglichen Applets.

Infos zur Verwendung des Geometry Applets

Weitere Konstruktion (und Information), die dieses Geometry Applet verwendet:
Ikosaeder (von David E. Joyce, in Englisch)