PUZZLE 31: Wie heisst die 57-ste Zahl?

Claus betrachtet die Zahlenfolge (bn)     1    3    4    7    11    18    29 .... Er möchte zuerst herausfinden, wie sich die nächste Zahl aus den vorhergehenden berechnen lässt (rekursive Darstellung). Dann möchte er aber z.B. die 57-te Zahl direkt berechnen, d.h. ohne alle 56 vorhergehenden Zahlen zu berechnen. Dazu sucht er die explizite Darstellung für die Folge. Weiter stellt er sich die Frage: Gegen welche Zahl streben die Quotienten von aufeinanderfolgenden zwei Zahlen dieser Folge, d.h. welchen Grenzwert hat die Folge ? Hinweis: Für die explizite Darstellung bn = ... helfen ihm die Ausführungen über Fibonacci- und Lucas-Zahlen.