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Lösung PUZZLE 29: Tontaubenschiessen
Es seien n Tontauben. Das Problem besteht darin, aus den möglichen m = nn Variationen mit Wiederholung die für das
betrachtete Ereignis k=0,1,2,...n überlebende Tontauben günstigen Fälle g zu berechnen.
Für die Ereignisse k=0, k=n-1 und k=n überlebende Tontauben ist die Berechnung von g einfach:
k=0: g = n! k=n-1: g = n k=n: g = 0 (in keinem Fall überleben alle Tontauben)
Für die restlichen Ereignisse ist die Berechnung von g schwierig!
Falls Sie grössere Berechnungen anstellen wollen, so können Sie das Formular zur Lösung benützen: Formular
Diese Berechnungen resultieren in den folgenden Tabellen:
| n = 4 |
m = 4^4 = 256 |
Erwartungswert = 1.266 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| g |
24 |
144 |
84 |
4 |
0 |
| P(x) |
0.09375 |
0.5625 |
0.328125 |
0.015625 |
0 |
| n = 5 |
m = 5^5 = 3125 |
Erwartungswert = 1.638 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| g |
120 |
1200 |
1500 |
300 |
5 |
0 |
| P(x) |
0.0384 |
0.384 |
0.48 |
0.096 |
0.0016 |
0 |
| n = 6 |
m = 6^6 = 46656 |
Erwartungswert = 2.009 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| g |
720 |
10800 |
23400 |
10800 |
930 |
6 |
0 |
| P(x) |
0.0154 |
0.2315 |
0.5015 |
0.2315 |
0.009997 |
0.0001286 |
0 |
| n = 7 |
m = 7^7 = 823543 |
Erwartungswert = 2.379 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| g |
5040 |
105840 |
352800 |
294000 |
63210 |
2646 |
7 |
0 |
| P(x) |
0.00612 |
0.1285 |
0.5569 |
0.35699 |
0.07675 |
0.003213 |
8.4999*10-6 |
0 |
| n = 8 |
m = 8^8 = 16777216 |
Erwartungswert = 2.749 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| g |
40320 |
1128960 |
5362560 |
7056000 |
2857680 |
324576 |
7112 |
8 |
0 |
| P(x) |
0.0024 |
0.06729 |
0.3196 |
0.4206 |
0.1703 |
0.01935 |
0.000424 |
4.7684*10-7 |
0 |
| n = 9 |
m = 9^9 = 387420489 |
Erwartungswert = 3.118 |
| X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| g |
362880 |
13063680 |
83825280 |
160030080 |
105099120 |
23496480 |
1524600 |
18360 |
9 |
0 |
| P(x) |
9.367*10-4 |
0.0337 |
0.2164 |
0.4131 |
0.2713 |
0.0606 |
0.003935 |
4.739*10-5 |
2.323*10-8 |
0 |
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