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Formel von Cardano (mit Formular zur Demo)

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Die Lösungen von Gleichungen bis höchstens 4. Grades können exakt aus den Koeffizienten berechnet werden, indem man Wurzeln zieht und rationale Rechenoperationen durchführt. Ab Gleichungen 5. Grades ist dies im allgemeinen nicht mehr möglich und man muss sich mit Näherungslösungen (z.B. Newton-Verfahren, Iteration usw.) begnügen. Hier finden Sie die Formeln von Cardano zur exakten Lösung von allgemeinen Gleichungen dritten Grades, die er im Jahr 1545 veröffentlichte. Sie sind eher von historischem Interesse (s. dazu in seinem Lebenslauf auch die Bemerkung).

Ausgangslage ist die Gleichung dritten Grades
ax3 + bx2  + cx + d = 0.

Dividiert man durch a und setzt man y := x + `"b"/"3a"`, so entsteht die Gleichung
y3 + 3py + 2q = 0 mit 3p = `"3ac - b"^2/"3a"^2` und 2q = `"2b"^3/"27a"^3 - "bc"/"3a"^2 + "d"/"a"`.

Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Vorzeichen der Diskrimante D:=q2 + p3 ab.

Ist D > 0, so hat die Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen.
Ist D < 0, so hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen.
Für D = 0 hat die Gleichung die Lösung y1= y2= y3=0, falls p = q = 0 und zwei Lösungen, falls q2 = -p3 ≠ 0.

Die Lösungen heissen y1 = u + v, y2 = f 1u + f2v, y3 = f2u + f1v, wobei u = `root3(-"q"+sqrt"D")`, v = `root3(-"q"-sqrt"D")` und f1 und f2 die Lösungen der Gleichung f2 + f + 1 = 0 sind, d.h. f1,2 = 0.5 (-1 ± i`sqrt(3)`).
(i: imaginäre Einheit)

Beispiel:

x3 + 3x2 + 9x + 9 = 0 , also a=1, b=3, c=9 und d=9.
y:= x + 1,  3p = `"27 - 9"/3` = 6, also p = 2 und 2q = `"2⋅27"/27` - `27/3` + 9 = 2, also q = 1
Es entsteht die Gleichung y3 + 6y + 2 = 0 mit Diskrimante D = q2 + p3 = 9.
Die Gleichung hat daher eine reelle und zwei (konjugiert) komplexe Lösungen.

Also `sqrt"D"` = 3, u = `root3"-1 + 3"` = `root3(2)`, v = `root3"-1 - 3"` = -`root3(4)`
Damit y1 = `root3(2)` - `root3(4)`, y2,3 = -0.5(u+v) ± 0.5i`sqrt(3)`(u-v) = ...
Die Resubstitution liefert für das reelle x1 = y1 - 1 ≈ -1.32748 und für die komplexen x2,3 die entsprechenden Resultate. Man vergleiche durch numerische Lösung z.B. mit dem Newton-Verfahren.

Formular zur Demo der Formel von Cardano

Geben Sie die Koeffizienten a, b, c und d der Gleichung ax3+bx2+cx+d = 0 ein.
Das Formular berechnet dann die Lösungen inklusive Angabe der Resultate der Zwischenschritte.

a =    b =    c =    d =