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Achill und die Schildkröte (Paradoxie des Zenon: um 500 v.Chr.)

Problem: Wettlauf zwischen Achill A und der Schildkröte S:
S habe d Vorsprung. Ist A an der Stelle A1(Startposition von S) angelangt, so ist S doch bereits an der Stelle S1. Ist A an der Stelle A2 = S1 angelangt, so ist S doch bereits an der Stelle S2 usw. Wenn A also jeweils an der Stelle ist, wo S vorher war, so ist S immer wieder bereits eine Strecke weiter. Holt also Achill die Schildkröte nie ein?

Achill
Strecke

Das berühmte Paradoxon lässt sich mit Hilfe der Formeln für unendliche geometrische Reihen erklären:

Die Geschwindigkeit von A sei vA , diejenige der Schildkröte sei vS  mit vA > vS .
A benötige für die Strecke d die Zeit t1 . Also  t1 = d / vA .
Strecke s1 = vS · t1 =   vS / vA · d
A benötige für die Strecke  s1 = A1A2 die Zeit t2 . Also t2 = s1 / vA .
Strecke s2 = vS · t2 =   vS / vA · s1
A benötige für die Strecke  s2 = A2A3 die Zeit t3 . Also  t3 = s2 / vA .
Strecke s3 = vS · t3 =   vS / vA · s2   und so weiter.

Also ist (sn ) eine geometrische Folge mit q = vS / vA < 1.
Daher konvergiert die unendliche geom. Reihe s =  s1 + s2 + s3 + ...

s = s1 / (1 - q) = (vS / vA · d) / (1 - vS / vA ) = vS · d / (vA - vS ).   (*)

Dies stimmt mit der elementaren Berechnung der Gesamtzeit T überein, bis Achill die Schildkröte einholt:

vA · T = vS · T + d , also    T = d / (vA - vS )

Nach (*):   s =  vS · T , also T = d / (vA - vS )