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Die Eine-Million-Dollar-Frage

Neues Interesse an der Goldbach’schen Vermutung

Wahrscheinlich gibt es einfachere Wege, eine Million Dollar zu verdienen; andererseits sind die Chancen vermutlich auch nicht schlechter, als die berühmten sechs Richtigen im Lotto zu erwischen: Der britische Verlag Faber and Faber hat ein Preisgeld von einer Million Dollar für denjenigen ausgelobt, der die Richtigkeit der so genannten Goldbach’schen Vermutung bestätigt. Der Preis ist Teil einer Werbekampagne für einen Roman über dieses große Rätsel der Zahlentheorie.

Der Name des preußischen Mathematikers Christian Goldbach ist heute nur noch ein Begriff, weil er 1742 in einem Brief an seinen Kollegen Leonhard Euler eine Vermutung aufstellte, die in ihrer modernen Formulierung lautet: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen ausdrücken. Die gerade Zahl 20 ist zum Beispiel die Summe aus den beiden Primzahlen 13 und 7. Primzahlen, wie 2, 3, 5, 7 und so weiter, lassen sich nur durch 1 oder sich selbst teilen. Kaum ein Mathematiker zweifelt daran, dass Goldbach Recht hat, doch hat seine Vermutung seit mehr als 250 Jahren jedem Bestätigungsversuch widerstanden.

Der Mathematiker Jörg Richstein vom Institut für Informatik der Universität Gießen hat 1998 die geraden Zahlen bis 400 Billionen untersucht und kein Gegenbeispiel gefunden. Richstein beschäftigt sich damit, Probleme aus der Zahlentheorie möglichst effizient auf viele Rechner zu verteilen. Die meisten Computer liegen heutzutage etwa 70 Prozent der Zeit - vor allem nachts - brach. Diese Totzeiten nutzte Richstein um den derzeit gültigen „Goldbach-Rekord“ aufzustellen. Allerdings schrumpft selbst die Zahl von 400 Billionen angesichts von unendlich vielen geraden Zahlen auf ein Nichts - ein Beweis lässt sich so nicht führen.

Wahrscheinlich hat sich jeder Zahlentheoretiker schon einmal an der Goldbach’schen Vermutung versucht, aber noch ist nicht einmal ein Weg in Sicht, wie man sie beweisen könnte. Der letzte Fortschritt ist dem chinesischen Mathematiker Chen zu verdanken, der 1966 zeigte, dass sich jede Zahl als eine Summe aus einer Primzahl und dem Produkt zweier Primzahlen darstellen lässt. 20 zum Beispiel ist gleich 11 plus 3 x 3. Das kommt der Goldbach’schen Vermutung schon ziemlich nahe, aber die verbliebene Kluft hat seitdem niemand überwinden können. Jörg Richstein weist darauf hin, dass mit wachsender Größe auch die Anzahl der Möglichkeiten wächst, eine Zahl als Summe zweier Primzahlen darzustellen. Während 20 sich nur als 3  +  17 und 7  +  13 darstellen lässt, gibt es bei der 30 bereits drei Möglichkeiten: 7  +  23, 11  +  19 sowie 13  +  17.

Ermutigen könnte auch eine andere Erfolgsgeschichte der Zahlentheorie, die Lösung von Fermats letztem Theorem. Dieser Mount Everest der Zahlentheorie hielt 350 Jahre jedem Angriff stand, bis er von dem Briten Andrew Wiles 1997 nach sieben Jahren Arbeit bewältigt wurde. Die beiden mathematischen Probleme haben bis in die historischen Details viel miteinander gemein. Wie Fermat sein Theorem als Randbemerkung in ein Mathematikbuch schrieb, so notierte auch Goldbach seine Vermutung an den Rand eines Briefs an Euler. Für die Lösung von Fermats letztem Theorem lobte der deutsche Industrielle und Amateur-Mathematiker Paul Wolfskehl 1908 einen Preis von 10  000 Mark aus - in heutigen Preisen entspricht das etwa einer Million US-Dollar.

Nur für Briten und US-Bürger

Wolfskehl finanzierte seinen Preis noch aus seinem eigenen Vermögen, während Faber sich bei Lloyds gegen einen fünfstelligen Betrag gegen den Verlust des Preisgeldes versichert hat. Vielleicht sind deswegen die Bedingungen sehr eng gefasst: Die Lösung muss innerhalb von zwei Jahren bei einer mathematischen Zeitschrift eingereicht und innerhalb von vier Jahren dort veröffentlicht worden sein. Eine andere Bedingung, die sich im Kleingedruckten findet, bricht mit jeder mathematischen Tradition: Zugelassen sind nur Lösungen, die von Briten oder US-Amerikanern eingereicht werden, womit 95 Prozent der Menschheit vom Preis ausgeschlossen sind.

Dass die Goldbach’sche Vermutung trotz aller Anstrengungen bis heute nicht bewiesen wurde, fördert allerdings einen Verdacht: Seit den bahnbrechenden Arbeiten des österreichischen Mathematikers Kurt Gödel ist bekannt, dass nicht jeder wahre Satz in der Mathematik auch beweisbar ist. Möglicherweise hat Goldbach also Recht, und trotzdem wird nie ein Beweis gefunden werden. Das wiederum lässt sich aber vermutlich auch nicht beweisen.

Utz Thimm: SüddeutscheZeitung, 16.05.2000