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Kurt Gödel

Goedel
Kurt Gödel wurde 1906 in Brünn (Oesterreich-Ungarn; heute Brno: Tschechien) geboren und verstarb 1978 in Princeton (USA), wo er seit 1939 am Institute for Advanced Studies lehrte.

Die sogenannten Grundlagen der Mathematik sind keineswegs so unumstritten wie es ein Laie vielleicht vermuten könnte. Es gibt durchaus im Widerstreit liegende Sichtweisen, die aber im praktischen Mathematikalltag kaum zur Diskussion gelangen. Nur bei Fragen der Mengentheorie, der Topologie, besonders aber in der Beweistheorie oder der Theorie der Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit sind Gödels Überlegungen von Bedeutung.

In der neuesten Entwicklung der Mathematik, vor allem durch die Entstehung der mathematischen Logik, hat der Algorithmenbegriff Bedeutung erlangt, weil sich mit seiner Hilfe die grundlegenden Begriffe der Entscheidbarkeit und Axiomatisierbarkeit einer formalisierten Theorie definieren lassen.

Kurt Gödel, einer der wohl berühmtesten Mathematiker und Logiker des 20. Jahrhunderts, publizierte 1931 ("Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), S.173-198) den Unvollständigkeitssatz. Er ist heute jedem Mathematiker zumindest vom Ansatz her bekannt. Worum geht es in diesem Satz?

Vor seinen Arbeiten war der von Hilbert begründete Formalismus seit 1880 in der Mathematik und in den Naturwissenschaften vorherrschend. Der Wunsch gewisse Widersprüche und Ungereimtheiten der Mathematik der vorangehenden Dekaden zu klären (nichteuklidische Geometrie, Mengenlehre) war vorhanden. Die Mathematik sollte in Rahmen logischer Kalküle beschrieben werden und ein Kalkül ist ein in sich geschlossenes formales System. Die Idee des Formalismus - kurz gesagt - ist es also, die "Gewissheit" über mathematische Aussagen dadurch zu erlangen, dass diese aus (möglichst wenigen) vorher fixierten Axiomen durch logisch korrekte Umformungen abgeleitet werden können.

Die zweite Richtung wurde von L.E.J. Brouwer ins Leben gerufen und wird als Intuitionismus bezeichnet. Hier werden nicht alle logischen Schlussweisen zugelassen. Die Zeit 1931-1947 war durch diese Strömung gekennzeichnet.

Der Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel lautet (vereinfacht):
Jeder widerspruchsfreie Kalkül, der es erlaubt, von den natürlichen Zahlen zu sprechen, der also die elementare Arithmetik umfasst, enthält unendlich viele Aussagen, die in diesem Kalkül weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Solche Aussagen heissen unentscheidbar
Weitere Infos zu diesem Satz (in Englisch)

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Der Gödelsche Beweis
Der Gödelsche Beweis

E. Nagel, J.R. Newman