menu mathematik.ch  

Lösung Puzzle Nr 11: Prinz und Prinzessin

Das Rätsel lässt vom deutschen Satzbau her (letzte Zeile!) zwei Interpretationen zu:
A mit 'Summe der beiden Alter' ist die Summe der damaligen Alter gemeint
B mit 'Summe der beiden Alter' ist die Summe der jetzigen Alter gemeint

Zuerst zu A:
Das Alter der Prinzessin kann nur dann halb so gross sein wie die Summe der beiden Alter, wenn die beiden gleich alt sind! ( u = 0.5(u + v) )
Die weiteren Bedingungen sind dann trivialerweise erfüllt, lassen aber keine Bestimmung des eigentlichen Alters zu.
Resultat: Prinz und Prinzessin sind gleich alt!

Wer lieber einen komplizierteren, algebraischen Lösungsweg haben will:

  Prinzessin Prinz  
in Zukunft (in x-y Jahren) 2z x  
      Differenz = x - y
jetzt: x y  
      Differenz = y - z
früher (vor y-z Jahren) 0.5(x-(y-z)+z) z  

Dies ergibt die drei Gleichungen:

x + x - y = 2z (1)
0.5(x-y+2z) + y - z = x (2)
0.5(x-y+2z) + x - z = 2z (3)

Wer das Gleichungssystem auflöst, erkennt x = y = 2z, Gleichungen nicht linear unabhängig.


B Stellt man das Gleichungssystem analog zu A für die Interpretation B auf, so gilt:

x + x - y = 2z (1)  wie bei A
0.5(x+y) + y - z = x (2)
0.5(x+y) + x - z = 2z (3)

Einsetzen von y = 2x - 2z aus Gl (1) in die Gleichungen (2) und (3) führt auf dieselbe Gleichung 2.5x = 4z, also 5x = 8z.
Eingesetzt in y = 2x - 2z liefert dies das Ergebnis 5y = 6z.
Verlangt man ganzzahlige Lösungen, so gilt:

Resultat: Alter der Prinzessin = 1.6z und Alter des Prinzen = 1.2z mit z = 5, 10, 15, 20 usw.

Die ersten möglichen Resultate für das jetzige Alter lauten daher:

Prinzessin Prinz
 8 6
16 12
24 18
32 24
40 30
... ...

Zurück zum aktuellen Puzzle