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Lösung PUZZLE 29: Tontaubenschiessen

Es seien n Tontauben. Das Problem besteht darin, aus den möglichen m = nn Variationen mit Wiederholung die für das betrachtete Ereignis k=0,1,2,...n überlebende Tontauben günstigen Fälle g zu berechnen.
Für die Ereignisse k=0, k=n-1 und k=n überlebende Tontauben ist die Berechnung von g einfach:
k=0: g = n!      k=n-1: g = n      k=n: g = 0 (in keinem Fall überleben alle Tontauben)
Für die restlichen Ereignisse ist die Berechnung von g schwierig!
Falls Sie grössere Berechnungen anstellen wollen, so können Sie das Formular zur Lösung benützen: Formular
Diese Berechnungen resultieren in den folgenden Tabellen:

n = 4 m = 4^4 = 256 Erwartungswert = 1.266
X 0 1 2 3 4
g 24 144 84 4 0
P(x) 0.09375 0.5625 0.328125 0.015625 0

 

n = 5 m = 5^5 = 3125 Erwartungswert = 1.638
X 0 1 2 3 4 5
g 120 1200 1500 300 5 0
P(x) 0.0384 0.384 0.48 0.096 0.0016 0

 

n = 6 m = 6^6 = 46656 Erwartungswert = 2.009
X 0 1 2 3 4 5 6
g 720 10800 23400 10800 930 6 0
P(x) 0.0154 0.2315 0.5015 0.2315 0.009997 0.0001286 0

 

n = 7 m = 7^7 = 823543 Erwartungswert = 2.379
X 0 1 2 3 4 5 6 7
g 5040 105840 352800 294000 63210 2646 7 0
P(x) 0.00612 0.1285 0.5569 0.35699 0.07675 0.003213 8.4999*10-6 0

 

n = 8 m = 8^8 = 16777216 Erwartungswert = 2.749
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8
g 40320 1128960 5362560 7056000 2857680 324576 7112 8 0
P(x) 0.0024 0.06729 0.3196 0.4206 0.1703 0.01935 0.000424 4.7684*10-7 0

 

n = 9 m = 9^9 = 387420489 Erwartungswert = 3.118
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
g 362880 13063680 83825280 160030080 105099120 23496480 1524600 18360 9 0
P(x) 9.367*10-4 0.0337 0.2164 0.4131 0.2713 0.0606 0.003935 4.739*10-5 2.323*10-8 0

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