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Lösung Puzzle 29: Tontaubenschiessen

Es seien n Tontauben. Das Problem besteht darin, aus den möglichen m = nn Variationen mit Wiederholung die für das betrachtete Ereignis k=0,1,2,...n überlebende Tontauben günstigen Fälle g zu berechnen.
Für die Ereignisse k=0, k=n-1 und k=n überlebende Tontauben ist die Berechnung von g einfach:
k=0: g = n!      k=n-1: g = n      k=n: g = 0 (in keinem Fall überleben alle Tontauben)
Für die restlichen Ereignisse ist die Berechnung von g schwierig!
Falls Sie grössere Berechnungen anstellen wollen, so können Sie das Formular zur Lösung benützen: Formular
Diese Berechnungen resultieren in den folgenden Tabellen:

n = 4 m = 4^4 = 256 Erwartungswert = 1.266
X g P(x)
0 24 0.09375
1 144 0.5625
2 84 0.328125
3 4 0.015625
4 0 0

 

n = 5 m = 5^5 = 3125 Erwartungswert = 1.638
X g P(x)
0 120 0.0384
1 1200 0.384
2 1500 0.48
3 300 0.096
4 5 0.0016
5 0 0

 

n = 6 m = 6^6 = 46656 Erwartungswert = 2.009
X g P(x)
0 720 0.0154
1 10800 0.2315
2 23400 0.5015
3 10800 0.2315
4 930 0.009997
5 6 0.0001286
6 0 0

 

n = 7 m = 7^7 = 823543 Erwartungswert = 2.379
X g P(x)
0 5040 0.00612
1 105840 0.1285
2 352800 0.5569
3 294000 0.35699
4 63210 0.07675
5 2646 0.003213
6 7 8.4999*10-6
7 0 0

 

n = 8 m = 8^8 = 16777216 Erwartungswert = 2.749
X g P(x)
0 40320 0.0024
1 1128960 0.06729
2 5362560 0.3196
3 7056000 0.4206
4 2857680 0.1703
5 324576 0.01935
6 7112 0.000424
7 8 4.7684*10-7
8 0 0

 

n = 9 m = 9^9 = 387420489 Erwartungswert = 3.118
X g P(x)
0 362880 9.367*10-4
1 13063680 0.0337
2 83825280 0.2164
3 160030080 0.4131
4 105099120 0.2713
5 23496480 0.0606
6 1524600 0.003935
7 18360 4.739*10-5
8 9 2.323*10-8
9 0 0

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