mathematik.chLösung Puzzle 31: Wie heisst die 57-ste Zahl?
Die 57-ste Zahl ist 817'138'163'596
Die rekursive Darstellung dieser Lucas-Folge lautet:
b1 = 1 , b2 = 3
bn+2 = bn+1 + bn (n = 1, 2, 3, ...)
Zum Suchen der expliziten Darstellung betrachtet man die allgemeine Lucas-Folge
b1, b2
b3 = b2 + b1
b4 = b3 + b2 = 1 b1 + 2 b2
b5 = b4 + b3 = 2 b1 + 3 b2
b6 = b5 + b4 = 3 b1 + 5 b2
b7 = b6 + b5 = 5 b1 + 8 b2
....
Die roten Zahlen sind aber genau die Zahlen (an) der Fibonacci-Folge. Es gilt daher
bn = bn-1 + bn-2 = an-2 b1 + an-1 b2 (n = 3, 4, 5, ...)
und damit gemäss der expliziten Darstellung der Fibonacci-Folge auf Fibonacci- und Lucas-Zahlen:
bn = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\big(((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2})\rm\small b_1 + ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1})\rm\small b_2\big)\)
Die explizite Darstellung für die gesuchte Folge (b1 = 1 , b2 = 3) lautet daher:
bn = \(\frac{1}{\sqrt{5}}\big(((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}) + \small 3\normalsize((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1} - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1})\big)\)
Also gilt:
b57 = ... = \(\large\frac{\sqrt{5}+3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{55} - \frac{\sqrt{5}-3}{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{55}\) = 817'138'163'596
Nun zum Grenzwert x der Quotientenfolge:
x = \(\displaystyle\small\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+2}}{b_{n+1}}
= \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1} + b_n}{b_{n+1}} = \lim_{n \to \infty}(1 +\frac{b_n}{b_{n+1}}) =
1 + \frac{1}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}} = 1 + \frac{1}{\rm x}\)
Dies führt auf die Gleichung x2 - x - 1 = 0 (Goldener Schnitt). Ihre positive Lösung ist
x = \(\large\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) ≈ 1.6180339887...