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Differenzierbarkeit von f bei x0

Linksseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:    linksseitiger Grenzwert   für x < x0
Rechtsseitiger Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion:    rechtsseitiger Grenzwert   für x > x0

Ist der linksseitige gleich dem rechtsseitigen Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion, so ist f differenzierbar bei x0. Es existiert dann die Ableitung f'(x0), die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt (x0 / f(x0)).

Wählen Sie zuerst, ob x → x0 oder x → x1 gehen soll.
Wählen Sie nun, ob Sie den Grenzwert linksseitig oder rechtsseitig betrachten wollen.
Verschieben Sie dann (bei gedrückter Maustaste) den roten Punkt gegen den blauen Punkt. Alternativ können Sie auch durch Klicken auf 'Step' die Annäherung schrittweise vollziehen.

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x → x0        x → x1

linksseitig         Sekantensteigung:

rechtsseitig       Sekantensteigung:

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, weil der Grenzwert der Funktion f für x → x0 existiert und gleich dem Funktionswert f(x0) ist. Sie ist auch an der Stelle x0 differenzierbar, weil der linksseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion mit dem rechtsseitigen Grenzwert identisch ist (es ex. also die Ableitung f'(x0)).
Die Funktion f(x) ist an der Stelle x1 ebenfalls differenzierbar, weil der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotientenfunktion übereinstimmen (es ex. also die Ableitung f'(x1)).

Siehe auch Einseitige Ableitung