Berechnung von Logarithmen

Geschichtliches s. bei Lord John Napier (Neper).

A Ein mögliches Verfahren zur Berechnung des natürlichen Logarithmus ln x für x > 0:

Aus dem natürlichen Logarithmus ln x (Basis e = 2.71828182846...) kann man durch Multiplikation mit dem Kehrwert (1 / ln 10) = 0.434294481904... den dekadischen (Brigg'schen) Logarithmus lg x (Basis 10) berechnen:
lg x ≈ 0.434294481904 · ln x

Beispiel: Berechnung von ln 2

a) Aus der Formel für ln x ergibt sich für x = 2 mit sieben berechneten Summanden:

≈ 0.69314717

b) Daraus die Berechnung von lg 2:     lg 2 ≈ 0.434294481904 · 0.69314717 ≈ 0.30102999

Das folgende Formular berechnet die Logarithmen ln x gemäss diesem Algorithmus.
Je grösser n, desto genauer die Approximation. Das Verfahren konvergiert aber für x nahe bei 0 und für grosse x relativ langsam.
Statt ln 0.0001234 zu berechnen sollte man also besser ln 1.234 berechnen und entsprechend korrigieren:
ln 0.0001234 = ln (1.234 * 10^-4) = -4 * ln 10 + ln 1.234

B1 Weiteres Verfahren (Idee nach Bürgi, Neper, Briggs):

Verfahren zur Berechnung des 10-er Logarithmus einer reellen Zahl x zwischen 1 und 10, das auch in vielen Taschenrechnern implementiert ist.
Man berechnet nur wenige Logarithmen, z.B.
lg(1 + 10^-n) für n = 0, 1, 2,...mit Hilfe der Taylorreihenentwicklung

für -1 < z ≤ 1 und der Umrechnungsformel vom ln zum lg (s. A) und speichert diese Werte in einer Tabelle ab.
(Nebenbei: ln 2 lässt sich mit der Formel ln(1+z) viel einfacher berechnen als mit der Formel bei A)
Man approximiert nun x über die Zerlegung

wobei die Exponenten i_k so gewählt sind, dass    x_k  ≤   x   ≤   x_k·(1+10^-k)    für k = 0, 1,..., n
Damit folgt die Näherung
lg x ≈ i₀ · lg(2) + i₁ · lg(1.1) + i₂ · lg(1.01) + ... + i_n · lg(1+10^-n).
Das Produkt lässt sich mit 1 beginnend aufbauen, indem man solange mit 2 multipliziert, als man unterhalb von x bleibt, dann solange mit 1.1 multipliziert, als man unterhalb von x bleibt, u.s.w.
Das folgende Formular berechnet die Logarithmen lg x gemäss diesem Algorithmus.
Dabei werden nur die n+1 Werte für lg(2) bis lg(1+10^-n), die auf 11 Stellen genau in der Tabelle abgespeichert sind, verwendet.
Je grösser n, desto genauer die Approximation.
Beachten Sie, dass man mit den Logarithmen zwischen 1 und 10 Logarithmen von beliebigen Zahlen berechnen kann, z.B.
lg 123456.78 = lg (1.2345678 * 10⁵) = 5 + lg 1.2345678 oder lg 0.00012345678 = lg (1.2345678 * 10^-4) = -4 + lg 1.2345678

B2 Verfahren von Briggs:

Gesucht ist wiederum lg x. Briggs erhielt die Logarithmen nicht durch Taylorreihen, sondern durch 54-maliges fortlaufendes Quadratwurzelziehen der Zahl 10 (Genauigkeit auf 30 Stellen!), also

Dann gilt lg(u₁) = 0.5, lg(u₂) = 0.25, lg(u₃) = 0.125 usw.
Der Numerus x lässt sich wie bei B1 darstellen mit

(Dabei sind alle Exponenten i_k entweder 0 oder 1. Ausnahme: Für x=10 wird i₁=2). Für lg x gilt folglich die Näherung:
lg x ≈ i₁ · 0.5 + i₂ · 0.25 + i₃ · 0.125 + ... + i_n · (0.5)ⁿ.
Das folgende Formular berechnet die Logarithmen lg x gemäss diesem Algorithmus.
Es gilt auch hier: Je grösser n, desto genauer die Approximation.