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Beweis der Sätze der Satzgruppe des Pythagoras

beweis_pythagoras.png

Beweis Satz des Pythagoras (Bhâskara 12. Jh.)

Das Quadrat mit Seitenlänge c wird gemäss Figur zerlegt.
Es setzt sich also aus vier kongruenten Dreiecken und dem Quadrat mit Seitenlänge a - b zusammen. Dann gilt:

c2 = 4 · 0.5ab + (a - b)2, daher c2 = 2ab + a2 - 2ab + b2

Also in der Tat: c2 = a2 + b2

pythagoras.png

Beweis des Höhensatzes h2 = p · q
(mit Satz des Pythagoras):

a2 = h2 + p2, b2 = h2 + q2, also a2 + b2 = c2 = h2 + p2 + h2 + q2 .
Ersetzt man c mit p + q, so gilt: (p + q)2 = p2 + 2h2 + q2 , also p2 + 2pq + q2 = p2 + 2h2 + q2 , also p · q = h2 .


Beweis des Kathetensatzes (aus 'Pythagoras' und Höhensatz)

a2 = p2 + h2 = p2 + p · q = p(p + q) = p · c
Analog für b2 = q · c