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Buffon'sches Nadelproblem (18. Jahrhundert)

Man wirft zufällig eine Nadel der Länge c auf eine Ebene, die mit Parallelstreifen der Breite a versehen ist (c ≤ a). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P(A), dass die Nadel eine der Parallelen trifft? Dies ist eine geometrische Wahrscheinlichkeit.
Das folgende Programm ist eine Simulation dieses Problems (Bestimmung der W'keit mit einer sog. Monte-Carlo-Methode).

Mit dieser Simulation kann umgekehrt auch eine Näherung für die Zahl π gewonnen werden:
Wählt man c = a, so ist π = 2/P(A). (Beweis: s. unten)
Der Schweizer Astronom Rudolf Wolf soll 1850 mit 5000 Würfen für π den Näherungswert von 3.1596 gefunden haben.

π wird mit Startwert 400 Würfen berechnet. Sie können diese Anzahl verändern: min=25, max=25600.
Je mehr Würfe Sie wählen, desto besser wird i.a. die Approximation für π.

Berechnung mit 400 Würfen.

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Nochmals mit gleicher Anzahl

Doppelte Anzahl Halbe Anzahl

Resultat:
W'keit P(A) = . Daher π ≈

Vergleich: Exakter Wert für π = 3.14159265...

Beweis:
Die möglichen Fälle m (des Ereignisraumes) werden repräsentiert durch die Lage der Nadel: Winkel α der Nadel gegenüber der Horizontalen und Distanz d der Nadelspitze zu einer Parallelen (0 ≤ α ≤ π, 0 ≤ d ≤ a), also m = a * π.
Die für das Ereignis A günstigen Fälle g werden repräsentiert durch d ≤ c * sin α, also der Fläche unterhalb der Kurve mit Gleichung f(α) = c * sin α im Intervall [0, π ].
Mit Hilfe der Integralrechnung folgt:

Integral1
Integral2
Damit gilt für die W'keit P(A), dass die Nadel trifft: P(A)=2c/(a*pi).