Normalverteilung

Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ.
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a) die W'keit P, dass X einen Wert von mindestens a und höchstens b annimmt gemäss P(a≤X≤b) = \(\rm\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int\limits_a^b e^{\normalsize\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}}dx \)
b) die Abweichung Δ vom Erwartungswert bei vorgegebener Wkeit W gemäss P(μ-Δ≤X≤μ+Δ) = W

Beispiel
Bei der Produktion eines Massenartikels hat sich gezeigt, dass die Längen normalverteilt sind mit μ = 25cm und σ = 0.2cm.
a) Artikel mit mehr als 0.5cm Abweichung von μ sind unbrauchbar. Wie viel Prozent der produzierten Artikel sind unbrauchbar?
b) Wie gross darf die Abweichung Δ vom Erwartungswert sein, wenn damit 2% der Artikel unbrauchbar werden?

Lösung
a) Da P(24.5≤X≤25.5) = 98.76%, so sind 1.24% der Artikel unbrauchbar.
b) Da P(24.53546≤X≤25.46454) = 0.9798, so ist Δ ≈ 0.4645cm

Approximation Binomial- mit Normalverteilung