mathematik.chLösung Puzzle 11: Prinz und Prinzessin
Das Rätsel lässt vom deutschen Satzbau her (letzte Zeile!) zwei Interpretationen zu:
A mit 'Summe der beiden Alter' ist die Summe der damaligen Alter gemeint
B mit 'Summe der beiden Alter' ist die Summe der jetzigen Alter gemeint
Zuerst zu A:
Das Alter der Prinzessin kann nur dann halb so gross sein wie die Summe der
beiden Alter, wenn die beiden gleich alt sind! ( u = 0.5(u + v) )
Die weiteren Bedingungen sind dann trivialerweise erfüllt, lassen aber keine
Bestimmung des eigentlichen Alters zu.
Resultat: Prinz und Prinzessin sind gleich alt!
Wer lieber einen komplizierteren, algebraischen Lösungsweg haben will:
| Prinzessin | Prinz | ||
| in Zukunft (in x-y Jahren) | 2z | x | |
| Differenz = x - y | |||
| jetzt: | x | y | |
| Differenz = y - z | |||
| früher (vor y-z Jahren) | 0.5(x-(y-z)+z) | z |
Dies ergibt die drei Gleichungen:
| x + x - y = 2z | (1) |
| 0.5(x-y+2z) + y - z = x | (2) |
| 0.5(x-y+2z) + x - z = 2z | (3) |
Wer das Gleichungssystem auflöst, erkennt x = y = 2z, Gleichungen nicht linear unabhängig.
B Stellt man das Gleichungssystem analog zu A für die Interpretation B auf, so gilt:
| x + x - y = 2z | (1) wie bei A |
| 0.5(x+y) + y - z = x | (2) |
| 0.5(x+y) + x - z = 2z | (3) |
Einsetzen von y = 2x - 2z aus Gl (1) in die
Gleichungen (2) und (3) führt auf dieselbe Gleichung 2.5x = 4z, also 5x = 8z.
Eingesetzt in y = 2x - 2z liefert das Ergebnis 5y = 6z.
Verlangt man ganzzahlige Lösungen, so gilt:
Resultat: Alter der Prinzessin = 1.6z und Alter des Prinzen = 1.2z mit z = 5, 10, 15, 20 usw.
Die ersten möglichen Resultate für das jetzige Alter lauten daher:| Prinzessin | Prinz |
| 8 | 6 |
| 16 | 12 |
| 24 | 18 |
| 32 | 24 |
| 40 | 30 |
| ... | ... |