Fibonacci-Zahlen und Lucas-Zahlen

Leonardo von Pisa, genannt "Fibonacci" fand im Jahre 1202 die nach ihm benannte Folge beim Studium der Vermehrung von Kaninchen.
Die rekursive Darstellung der Folge lautet:

a1 = 1 , a2 = 1    an+2 = an+1 + an

Das folgende Formular berechnet die Zahlen gemäss dieser rekursiven Darstellung. Dabei können Sie die ersten beiden ganzen Zahlen (Rekursionsanfang) beliebig festsetzen und erhalten so sogenannte Lucas-Zahlen (nach Edouard Lucas, 1842 - 1891).
Die Fibonacci-Folge ist also ein Spezialfall einer Lucas-Folge.

Die explizite Darstellung für die Fibonacci-Folge mit a₁ = 1 und a₂ = 1 heisst (nach Binet, 1843):
a_n = \(\large\frac{1}{\sqrt{5}}\big((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n \big)\)

Daraus lässt sich die explizite Darstellung für eine Lucas-Folge (zwei beliebige Anfangszahlen) gewinnen. Das folgende Formular berechnet die n-te Zahl explizit (n < 1422).

Für die explizite Darstellung einer Lucas-Folge und den Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt: s. auch Puzzle 31 und die dazugehörige Lösung.