mathematik.chGiuseppe Peano
27.8.1858 in Cuneo, Piemont, Italien -
20.4.1932 in Turin, Italien
für Lebenslauf von Peano: Peano bei Wikipedia
20.4.1932 in Turin, Italien
für Lebenslauf von Peano: Peano bei Wikipedia
Axiome, die die Menge 
der natürlichen Zahlen begründen:
- 1 ist eine (natürliche) Zahl.
- Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
- 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
- Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
- Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.
Diese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 unter Berufung auf Dedekind publiziert.
Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:
Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:
| Verankerung: | a(1) |
| Induktionsschritt: | a(k) → a(k+1) (für alle k) |
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| Dann gilt: | a(n) (für alle n ∈ ) |