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Giuseppe Peano

Peano

Geboren: 27. August 1858 in Cuneo, Piemont, Italien
Gestorben: 20. April 1932 in Turin, Italien

für Lebenslauf von Peano: Peano bei Wikipedia


Axiome, die die Menge N der natürlichen Zahlen begründen:

  1. 1 ist eine (natürliche) Zahl.
  2. Jede Zahl n hat genau einen Nachfolger n'.
  3. 1 ist nicht Nachfolger einer Zahl.
  4. Jede Zahl ist höchstens Nachfolger einer Zahl, d.h aus n' = m' folgt n = m.
  5. Jede Menge von natürlichen Zahlen, die die Zahl 1 enthält und die zu jeder Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, enthält alle natürlichen Zahlen.

Diese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 unter Berufung auf Dedekind publiziert.


Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:

Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:

Verankerung: a(1)
Induktionsschritt:    a(k) → a(k+1)   (für alle k)

Dann gilt: a(n) (für alle n ∈ N)

Zu den Peano-Kurven