Axiome, die die Menge der natürlichen Zahlen begründen:
Diese Axiome wurden von Giuseppe Peano 1892 unter Berufung auf Dedekind publiziert.
Auf Axiom V beruht die Beweismethode der vollständigen Induktion:
Wenn man eine Aussageform a(n) für alle natürlichen Zahlen n als gültig nachweisen will, so weist man sie zunächst für die Zahl n=1 nach (Verankerung) und zeigt dann, dass - falls a(k) wahr ist, auch a(k') = a(k+1) wahr ist. Wegen Axiom V. muss dann a(n) für alle natürlichen n wahr sein. Kurz:
Verankerung: | a(1) |
Induktionsschritt: | a(k) → a(k+1) (für alle k) |
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Dann gilt: | a(n) (für alle n ∈ ) |